ボールの運動軌跡が簡単に計算できるの？：ピタゴラスイッチの計算書を作ろう（3）（3/4 ページ）

反発係数

草太「おぉ！ やっとΩ_o,cが出てきた！ しかし、衝突直前のボールの速度v_B,bは分かっても、衝突直後の速度v_B,cが分からへん！」

銀二「どーこーのだーれだーかしーらなーいけーれどー」

草太「なにそれ？」

銀二「月光仮面の主題歌。どこの誰だか知りませんが、反発係数ってやつを考えた人がいてね……。あ、ちなみに月光仮面は私がまだ小さいころに……」

草太「そうや、そうや。反発係数eを使えばいいんや。これは分かるもんね」

　分母はゲート衝突面から見た衝突前のボールの衝突方向の速度で、分子はゲートから見た衝突後のボールの跳ね返り方向の速度です。反発係数eというのは、衝突面と垂直方向の速度変化に対して定義しています。

草太「マイナスが付いているのは衝突後には速度が反転するからだ。いずれにせよ、反発係数というのは、衝突前後の衝突物体間の相対速度比だね」

銀二「月光仮面、無視されてもうた（ショボン……）」

草太「（3-29）と（3-31）を整理して書きそろえるよ」

草太「Ω_o,cとv_B,cの2元連立方程式となり、そしてこの解は？」

草太「やったね！ これで衝突直前のボールの速度v_B,bから、衝突直後のボールの速度v_B,cとゲートの角速度Ω_o,cが計算できる！ じゃあ、早速衝突直後の速度を求めてみようか」

草太「まず、幅方向を回転軸とした矩形物であるゲートの重心周りの慣性モーメントは、設計実用便覧に載っている公式だね」

　　JG＝10.3×(42²＋4²)／12＝1.53×10³（g−mm²）

草太「ただし、回転軸からのモーメントは平行軸の定理を使う」

　　≪J₀＝J_G＋m_G・L_G²＝1.53×10³+10.3×29²＝1.02×10⁴（g−mm²）

草太「反発係数はe＝0.83としてみよう。速度v_B,bは494から972 mm／s。cos(5°)＝0.996として、これらを（3-33）に代入する」

　(3-35)のΩ_o,cを（3-19）に代入すれば 、

　　cos（θ_max）＝0.768〜0.102

だから……

　　θ_max＝39.8〜84.2 度

草太「図に描くと図3.10のようになるね」

銀二「84.2°はいいけど、39.8°は角度が小さくて不安だね。衝突後のボールの速度も遅くなっているし、跳ね返って戻ってきたゲートとボールが再衝突してボールが止まるってことはないかな？」

草太「いわれてみればそんな気もするね。じゃあ、どうするの」

銀二「そうなるか確認してみよう」

草太「どうやって？」

銀二「2つの方法がある。1つは、手計算による近似計算で確認する方法。もう1つはシミュレーションでの確認。シミュレーションをする前に近似計算してごらん」

草太「計算してみろといわれてもな……」

　ゲートと衝突した後、ボールは直線スロープ1の端に来るまではスロープの上を直線的に移動しますね。走り出す速度は、衝突直後の速度で、重力加速度ｇによる力の傾斜分力が作用するので、g・sin（5°)の加速度が作用している場合と同じです。

草太「ふむふむ。だからボールが斜面に沿って動く距離をsとする」

*gは重力加速度で9810mm／s2。sinの（　）内の単位はラジアン

草太「一方ゲートとの衝突点から直線スロープ1の端までの距離ｓを出す」

草太「だから、(3-35)のv_B,c＝17.9 mm／sの場合、(3-36)と(3-37)から、t＝0.156secでは、ボールは端から落ち始めることが分かる。このときにゲートはどの位置にあるか？」

　銀二叔父さんが助け舟を出そうかと思ったところ……。

草太「あ。ゲートの運動は振り子だといっていたよな。じゃあ、振り子の周期は？」

　そうだそうだ。銀二叔父さんは心の中でうなずきました。ゲートが最大開度に達して元の位置に戻るまでには周期の半分の0.17secということになるわけです。

草太「衝突後0.156secのゲートの位置が分かればいいのにな」

草太「t＝0.156secのときのゲートの角度はこうなるね」

草太「衝突後、ボールがスロープの端に来る時刻のゲートの位置を描いた図3.11を見れば、ボールが落下する前にゲートと再衝突することが分かる」

銀二「お見事！ よく分かったじゃないか」

　草太がゲートの材料に使おうとしていたポリカーボネート製のネームプレートでは、ボールがサブ・システム1の曲線スロープからサブ・システム2の直線スロープ１へギリギリの速度で移る場合には、ボールがゲートで止まってしまう可能性があるということが分かりました。

　もちろん、曲線スロープから直線スロープへは、実際にはある程度の速度で入ってくるので、絶対にゲートでボールが止まるとは限りません。しかし、限界状態で考えた場合その危険があります。

銀二「そこで、別の材料でゲートを作るという選択も出てくるわけだ」

草太「ベニヤ板の切れ端があるから、それで作ろうかな。密度もポリカ（PC:ポリカーボネート）の半分程度だしね。でも、この計算をまたやるのは面倒だなぁ」

銀二「Excelを使えばいいじゃないか」

草太「あ、そうね」

　ボールがゲートと衝突するときの速度v_B,bをパラメータとして、ゲートの質量mGを変数とした場合の最大開度θmaxは（3-33）と（3-19）を使えば簡単に計算できます。ただし、戻ってきたゲートとボールとの再衝突によってボールがゲートを通過できなくなるかどうかまでは判断できません。

　それに、これまでの計算はあくまで近似計算です。衝突時のボールの回転の影響は考慮に入れてないので、衝突後のボールの運動については若干精度を欠いているわけです。

銀二「じゃあ、シミュレーションでもやってみようか。もっともシミュレーションも近似計算だけど手計算よりは精度がはるかに高いからね」

　銀二叔父さんは草太のパソコンにソフトをインストールして、シミュレーションを始めました。

　その結果を図3.12と図3.13に示します。シミュレーションのアニメーションを動画3.1に示します

　手計算とシミュレーションの傾向は非常によく似ています。ただし手計算の結果からは、衝突後ボールがゲートを通過せずゲートの前で停止してしまうかどうかは直接分かりません。グラフから推定するしかありません。しかしシミュレーションでは9g以上の質量を持つゲートではボールが通過せず停止してしまうことがアニメーションから簡単に分かります。

銀二「やっぱりネームプレートを使うのはやめておいた方がいいな」

草太「そうだね。板の切れ端で作ってみるよ」

実験検証

　1週間後、銀二叔父さんは草太からこんなメールを受け取りました。

銀二叔父さんから2つの宿題

　銀二叔父さんは、また以下のような宿題を2つ置いていきました。

問題1

　前回の問題1のように曲線スロープでの転がり摩擦係数を0.05とした場合、ボールとゲートが衝突したときのゲートの最大開度θmax、衝突後のボールの速度の速度v_B,c、衝突後、ボールが直線スロープ1の端に到達するまでの時間、その時間におけるゲートの開度を求めよ。

　ただし、直線スロープ1でのボール運動エネルギーの損失は無視し、ボールとゲートの特性値はそれぞれ下記の値とする。

• ボールとゲート間の反発係数e＝0.83
• ボールの質量m_B＝6.7g
• ゲートの質量m_G＝10.3g
• ゲートの回転軸回りの慣性モーメントJ_o＝10200g・mm2
• 回転軸から衝突点までの距離L_c＝36.9 mm
• 回転軸からゲート重心までの距離L_G＝29 mm
• 直線スロープ1傾斜角α＝5°

問題2

　動画3.2のボールの反発係数eを求めよ。

回答は、4ページ目にあります。

　さて、次回はいよいよ、台車と台車のロック機構の設計です。ご期待を！（次回に続く）