摩擦係数というより摩擦係数の変数だ：ピタゴラスイッチの計算書を作ろう（2）（4/4 ページ）

問題1の解答

　2つあります。

解答1

　図2.9の草太が設計したスロープの最大傾斜は54度であり、tan（54.5度）＝1.4である。

　（2-16）式より、最大静止摩擦係数が0.4以上あれば、原則、ボールはスロープ上を滑らず回転しながら移動する。従って、損失エネルギーは転がり摩擦によるエネルギー損失E_lossのみが発生する。

　転がり摩擦によるボールの単位質量当たりのエネルギー損失は、転がり摩擦係数をμ_rotと書く。

　（1-21）式より以下のようになる。

図1.6（第1回より） 曲線を直線に分解

　これはまた、位置エネルギーに換算して表示すると、

　と書ける。

　図1.6と積分の定義から、

　だから、転がり摩擦によるエネルギー損失は位置エネルギー換算により、以下となる。

　　　0.05×350mm＝17.5mm

解答2

　ボールの回転運動の運動方程式は摩擦力をFとして、（2-1）式となる。

　同じく、ボールの並進運動の運動方程式は（2-2）式となる。

　（2-1）にω、（2-2）にvを乗じて加えると、

　ボールの回転角度をφ、並進移動距離をsとすると

であるから

である。

　出発点Aから終点Bまで積分すれば、

となる。

　右辺第4項は摩擦によるエネルギー損失であるが、解答1からボールはスロープ上を滑らないからds＝rdφであり、よって右理論上は右辺第4項の摩擦エネルギー損失は0である。

　しかし実際にはミクロの変形によるエネルギー損失が存在し、その値は転がり摩擦係数μ_rotを使って以下のように計算できる。

　ただし、斜面法線力Nには遠心力は作用しないものとしている。

　mgで割って位置エネルギーに換算すると、損失エネルギーは以下のようになる。

　以下は解答1と同じため省略とする。

問題2の解答

　(2-13)から最大静止摩擦係数が0.3の場合、

　　　　　tanθ ≦ 3.5μmax＝3.5X0.3＝1.05

　上記を満足する範囲ではボールは滑らずに回転して移動する。その範囲の水平距離をL_rotとすれば、解答1の結果から、転がり摩擦による損失は

である。

　逆に、残りのスロープの勾配tanθが1.05を超える領域では、ボールは滑りながら移動するから、滑り摩擦によるエネルギー損失は最大静止摩擦係数をμ_maxとして、位置エネルギー換算で、

である。

　表1のスロープ形状からこう配（tanθ）を計算すると、表2の薄い水色で着色した範囲で勾配が1.05より小さく転がり摩擦が発生していて、その全長は210mmである。

　従って、以下のようになる。

• 転がり摩擦によるエネルギー損失は0.05×200＝10
• 滑り摩擦によるエネルギー損失は0.3×(350-200) ＝45

　上記を合計すると、55mmとなる。

　上記計算において、表2の転がり摩擦から滑り摩擦に変わる部分、またはその逆の部分の位置は、その中間点であると計算している。

表2　図2.9のスロープの傾斜データ