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» 2015年03月19日 10時00分 UPDATE

無償ソフトで技術計算しよう【シミュレーション応用編】(2):振動問題をFreeMatで解いてみよう(その1) (1/3)

今回は振り子の運動方程式や減衰振動を無償ソフト「FreeMat」で解いてみる。

[伊藤孝宏,MONOist]

 >>前回

 今回と次回の2回にわたって振動問題をFreeMatで解く方法を説明します。

振り子の振動

 振動問題の基本となる振り子について、運動方程式を導いてみます。図1に示す振り子の軌道に沿ってx座標を取ると、運動方程式は以下のようになります。

yk_freemat_sim22_02_siki01.jpg

 振り子の長さLと振れ角θとの関係から、x=L・θを用いると下記となります。

yk_freemat_sim22_02_siki001.jpg

 振り子の振れ角が小さい場合、sinθ≅θと見なせるので、(1)式は下記となります。

yk_freemat_sim22_02_siki02.jpg

 (2)式の一般解は、下記となります。

yk_freemat_sim22_02_siki03.jpg

 初期条件を例えば、t=0で、

yk_freemat_sim22_02_siki04.jpg

として係数AとBを求めると下記となります。

yk_freemat_sim22_02_siki05.jpg

 周期は下記のとおりの振動となります。

yk_freemat_sim22_02_siki06.jpg

yk_freemat_sim22_02_01.jpg 図1:振り子

 以上は、振れ角が小さい場合には成り立ちますが、振れ角が大きくなると、sinθ≅θとは見なせなくなるので、下記の式を解く必要があります。

yk_freemat_sim22_02_siki07.jpg

 (1)式を解析的に解くことは大変な作業になるので、数値的に解いてみます。ちなみに、シミュレーション編の冒頭で紹介した図は、(1)式を数値的に解いたものです。

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