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» 2015年06月17日 10時00分 UPDATE

無償ソフトで技術計算しよう【制御工学応用編】(1):ボード線図を使って過渡応答と周波数応答を求める (1/3)

【制御工学応用編】では、制御系の応答性や安定性を評価する方法とPIDコントローラーの設計について説明する。今回は、過渡応答と周波数応答について取り上げる。

[伊藤孝宏,MONOist]

 【制御工学応用編】では、制御系の応答性や安定性を評価する方法とPIDコントローラーの設計について説明します。今回は、過渡応答と周波数応答について説明します。

過渡応答と周波数応答

 図1はバネ・マス・ダンパ系で、図2は図1の系に周波数0.5Hzと1Hzで周期的に変動する荷重を与えた場合の変位を示したものです。

yk_freemat_seigyo2_01_01.jpg 図1:バネ・マス・ダンパ系
yk_freemat_seigyo2_01_02.jpg 図2:バネ・マス・ダンパ系の周期的加振に対する応答

 下記のex506.mで計算しています。詳しくは【シミュレーション応用編】(3)をご覧ください。

clear;c=1;k=10;m=1;fr=[0.5,1];
for n=1:2
dydt=@(t,y) [y(2);(sin(fr(n)*2*pi*t)-c*y(2)-k*y(1))/m];
[t,y]=ode45(dydt,[0,20],[0;0]);
subplot(2,1,n);plot(t,y(:,1));grid('on');
xlabel(['Frequency=',num2str(fr(n)),'[Hz]']);
ylabel('Height[m]');ylim([-0.4,0.4]);
end
ex506.m

>>「ex506.m」ダウンロード

 図2を見ると、最初の変動の後は、一定の変動となることが分かります。例えば、図2下段の1Hzでの変位は、最初は大きく、その後は規則正しい変動となっています。この最初の変動が自由応答と呼ばれ、システムの初期値や特性(この場合、m、c、kや初期変位など)に依存します。自由応答の特性を調べるのが過渡応答です。過渡応答には、幾つか種類がありますが、ここでは、インパルス応答について説明します。一方の自由応答の後の規則正しい変動は、強制応答と呼ばれ、強制力(この場合、周期的荷重)に依存します。強制応答の特性を調べるのが周波数応答です。

 さて、図2で強制応答の振幅に注目すると、荷重の周波数により異なることが分かります。また、周波数が2倍の関係にあるにも関わらず、振幅の山と谷の位置がずれていることも分かります。このように、強制応答は与えられた強制力の周波数により、振幅や位相が変化します。周波数の変化に対する応答を調べるため、強制応答の特性については「周波数応答」と呼ばれています。では、図1に示すバネ・マス・ダンパ系を例に、インパルス応答、周波数応答を求めてみます。参考に、図1のバネ・マス・ダンパ系の伝達関数を下記に示します。

yk_freemat_seigyo2_01_Siki00.jpg

 伝達関数とその求め方は【制御工学基礎編】(2)を参照してください。

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