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» 2008年03月19日 00時00分 公開

【問題10】 NANDゲートは“万能ゲート”完全マスター! 電子回路ドリル II(10)

「論理演算の定理」を適用して、同じ機能を持つ回路を“もっと少ないゲートで構成する方法”について詳しく解説します。

[横田一弘 埼玉県立新座総合技術高等学校 教諭,@IT MONOist]

【問題9】の解答

 前回の宿題【問題9】は、「多数決回路」をできるだけ少ないゲートで作成するという問題でした。

 皆さん解けましたでしょうか?

 解けた方も解けなかった方も答え合わせをして、次項の解説までぜひ読んでみてください。毎週コツコツ問題を解いて、デジタル回路の基礎知識を身に付けましょう。

 それでは、解答を発表します!


問題9

答え.

答え


【問題9】の解説

 最初に、【問題7】の解説で説明した真理値表から論理式を導く方法を用いて、【問題9】のデジタル回路を作ってみましょう。

 真理値表の出力が“1”の行に注目して、次のように論理式を求めます。

X = A ・ B ・ C + A ・ B ・ C + A ・ B ・ C + A ・ B ・ C

 この論理式を回路にすると図1のようになります。

多数決回路(その1) 図1 多数決回路(その1)

 【問題9】では「同じ機能を持つ回路を、もっと少ないゲートで構成できないか?」を問うています。そこで、中学校で習う「式の変形」のように論理式を変形し、同じ応答をするより簡単な論理式を求めてみましょう。

 論理式の変形は、次のような「論理演算の定理」を適用して行います。

復元の法則

 二重否定すると、その値は元に戻ります。

=
A = A

冪(べき)等の法則

 値自体を論理和(あるいは論理積)しても結果は同じになります。

A + A = A          A ・ A = A

相補の法則

 ある論理変数とそれを否定したものの論理和は“1(真)”になり、ある論理変数とそれを否定したものの論理積は“0(偽)”になります。

A + A = 1         A ・ A = 0

恒等の法則

 論理和と論理積には、次のような性質があります。

A + 0 = A          A ・ 0 = 0

A + 1 = 1          A ・ 1 = A

交換の法則

 論理和と論理積の左辺と右辺を入れ替えても結果は同じです。

A + B = B + A          A ・ B = B ・ A

結合の法則

 論理和と論理積は、演算を評価する順番にかかわらず同じ結果になります。

(A + B) + C = A + (B + C)     (A ・ B) ・ C = A ・ (B ・ C)

分配の法則

 論理和は論理積に対して分配的であり、論理積は論理和に対して分配的です。

A + (B ・ C) = (A + B) ・ (A + C)   A ・ (B + C) = (A ・ B) + (A ・ C)

吸収の法則

 論理式が積の和の形で表され、すべての因数となる項を含むとき、その項に式を省略することができます。論理式が和の積の形で表される場合も同様です。

A + (A ・ B) = A     A ・ (A + B) = A

ド・モルガンの法則

 ド・モルガンの法則により、論理和を論理積に、論理積を論理和に変換できます。

A + BAB     A ・ BAB

 それでは、これらの論理演算の定理を適用して、先に求めた「多数決回路」の論理式を簡単にしてみましょう。

X = A ・ B ・ C + A ・ B ・ C + A ・ B ・ C + A ・ B ・ C

は「冪等の法則」により、

X = (A ・ B ・ C + A ・ B ・ C) + (A ・ B ・ C + A ・ B ・ C) + (A ・ B ・ C + A ・ B ・ C)

と展開できます。

 さらに、この式は「分配の法則」により、

X = B ・ C ・ (A + A) + A ・ C ・ (B + B) + A ・ B ・ (C + C

とまとめられます。

 そして、「相補の法則」により、

X = B ・ C + A ・ C + A ・ B

と簡単化できます。

 この論理式を基に作成した「多数決回路」が図2となります。

多数決回路(その2) 図2 多数決回路(その2)

 このように図1よりも少ないゲートで回路を実現することができます。

次回までの宿題 ― 【問題10】

問題10

NANDゲートを使って、NOT、AND、ORを作ってください


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