ラプラス変換と割り切ったお付き合いをするよ：独学！ 機械設計者のための自動制御入門（6）（2/4 ページ）

» 2010年05月25日 00時00分 公開
[岩淵 正幸／技術士（機械部門），＠IT MONOist]
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ついに出た！ ラプラス変換

ついに出てきましたか……（ラブプラスならよかったのにね）

ラプラス変換は使いたくなかったけど、これを使わんと、かえって難しく、かつ面倒くさいことになるからな。ラプラス変換については、ここでは、取りあえず、道具として機械的に利用することにしようや


そうだね。難しいこといわれてもよく分からないし……


ここでは、『ラプラス変換』とは『物体の運動や物理状態を表現する微分方程式を代数方程式（掛け算とか割り算）に変換して表現したもの』と考えてほしい。ここから、先は、道具の使い方の説明だと思って、割り切って聞いてな


分かったよ


入力xをラプラス変換したものを『L（x）』と書くことにしよう


出力yは、『L（y）』だね


そうや。入力xに比例定数Aを掛けたものが出力yである場合、ラプラス変換したもので表現すると、

　　y＝A・x ⇒ L（y）＝A・L（x）　　　 （3）

で、何も変わらへん


普通の掛け算と同じだ


しかし、微分や積分はちょっと違う。出力yが入力xを微分したものである場合に、ラプラス変換したもので表示すると


『s』は『ラプラス演算子』だと習ったよ。でも、sが何を意味するのか、さっぱり理解できなかったよ


ここでは、sの数学的説明はせえへんでー。ラプラス変換という道具の使い方の説明に終始するわ


分かったよ。じゃあ、出力yが入力xを積分したものである場合は？


その場合はこうだ


取りあえず、これだけ覚えれば、道具としてのラプラス変換を使うことができる


微分はsを掛け、積分はsで割る。じゃあ、s2を掛けるのは、2回微分することで、s2で割ることは、2回積分することになるんだね


そういうことやねん


だからラプラス変換は、微分方程式を代数方程式に変換しているっていうんだね


それだけやないんや。ラプラス変換を使うと、ボード線図が簡単に描けるんや！


　ラプラス変換を使って、バルブモータコントローラの新たな伝達関数G1のボード線図を描く前に、図1の浴槽の水位制御のブロック線図を、ラプラス変換表示してみましょう。

　（1）の微分方程式をラプラス変換すると、

となります。代数演算によって整理すると、

となり、ラプラス変換した伝達関数G1は、

です。

　上の計算は、ブロック線図でも表すことができます（図3）。

図3　ラプラス変換の計算をブロック線図で表す

　これに比例要素を並列に加えると、図4になります。

図4　比例要素を並列に加えてみた

　同様に、G3については以下のとおりです。

　伝達関数のラプラス変換表示は、こちら。

　大文字のSは浴槽の断面積です。ラプラス演算子の小文字sと紛らわしいので注意してください。そして、バルブ−流量特性G2は、以前と同じような式となります。

　バルブモータコントローラの伝達関数G1について、ラプラス変換を使って比例＋積分とした制御システムのブロック線図を表示すれば図5になります。

図5　比例＋積分制御による浴槽水位制御ブロック線図

ラプラス変換を使えば、バルブモータコントローラの伝達関数G1を、まるで分数のように計算できることは分かったよ。で、どうやって、G1の周波数応答特性、つまりボード線図を描くことができるのさ？


実はな、草太が、なんのこっちゃ分からんかったラプラス演算子sを

　　s＝i・ω　　　（12）

と置いて、計算すればいいんや。なんで、そうなるかは、ここでは説明せえへんよ


その理由は自分で勉強して理解することにするよ。とにかく、周波数ω（rad/min）に虚数iを掛けたものをsとすればいいんだね。すると……


で、ここからどうする？


さっきいったやろ、代数として計算すればいいって


あ、そう。じゃあ……


ωを0から＋∞まで変化させたときのG1の絶対値と位相を計算すればボード線図が求まるやん


　では、実際にボード線図をどのように作成するか説明してみましょう。

　まず伝達関数G1は、絶対値をA、位相をθとすると、オイラーの公式より、

と書けます。

　ですから、

となります。（17）式からG1の絶対値A、位相θを計算することができます。

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